Предметом планируемого курса являются непрерывные кривые f: S¹ → S², заполняющие сферу, естественным образом возникающие в теории трехмерных гиперболических многообразий, расслоенных над окружностью, а также в теории квазигеодезических потоков на трехмерных замкнутых гиперболических многообразиях. Попытка увидеть аппроксимации этих кривых привела к созданию так называемых когомологических фракталов (последнее название связано просто с фрактальной структурой аппроксимации). Курс будет построен следующим образом: мы будем разбирать статьи, указанные в списке литературы, и попутно обращаться к теории автоморфизмов поверхностей по Нильсону и Терстону.

Литература:
J. Cannon, W. Thurston, <<Group invariant Peano curves>>, (2007)
S. Frankel, <<Quasigeodesic flows and sphere-filling curves>>, (2012)
D. Bachman, M. Goerner, S. Schleimer, H. Segerman, <<Cohomology fractals, Cannon – Thurston maps, and the geodesic flow>>, (2020)

Пререквизиты:
Основы топологии (понятие гомеоморфизма, стягиваемого пространства, расслоения, различные версии теорем о неподвижных точках, компактность, универсальное накрывающее, понятие фундаментальной группы, основы теории гомологий), элементарная теория гладких многообразий, основы геометрической теории групп (граф Кэли группы, понятие квазигеодезической, курса А. В. Малютина бы точно хватило). Из дифференциальной геометрии полезно было бы знать понятие риманового многообразия, кривизны, потока, cut locus.

Курс предлагает введение в мат. логику и теорию типов, а также обзор различных формальных систем, современных theorem prover'ов и их истории. В течение семинара предлагается освоить одно из программных средств доказательства теорем (Arend, agda, Coq) и формализовать с помощью него небольшой кусочек математики (алгебры или анализа).

Литература:
to be determined

Пререквизиты:
Умение подставлять одни выражения в другие и замечать аналогии.

Курс посвящен обзору восьми различных эквивалентных определений гомологической сферы Пуанкаре — пространства, послужившего контрпримером к первоначальной ошибочной гипотезе А. Пуанкаре о характеризации трёхмерной сферы. Для эффективной работы с этим пространством мы обратимся к визуализациям таких фундаментальных объектов и понятий двумерной, трёхмерной и четырёхмерной топологии и теории узлов, как вещественные и комплексные проективные пространства, разветвлённые накрытия, кватернионы, разложения на ручки, комплексные гиперповерхности, расслоение Хопфа и главные расслоения со слоем окружность, двойственность Пуанкаре, скручивания Дена по кривым и хирургии Дена по узлам, орбифолды, трёхмерные и четырёхмерные многогранники, матричные группы Ли. Таким образом, рассмотрев каждую из восьми конструкций гомологической сферы Пуанкаре и доказав их эквивалентность, мы вовлечём, применим и тем самым освоим «вживую» множество центральных концепций геометрической и алгебраической топологий, изучая не «слои» теории многообразий малой размерности, а — пронизывая эти слои — всю маломерную топологию одновременно.

Литература:
Р. Кёрби, М. Шарльманн, «Восемь ликов гомологической трехмерной сферы Пуанкаре», (1982)
С. Матвеев, А. Фоменко, «Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии», (1991)
В. Прасолов, А. Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», (1997)
Н. Савельев, «Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона», (2004)
Р. Гомпф, А. Штипшиц, «Четырехмерные многообразия и исчисление Кирби», (2013)
А. Скорпан, «Удивительный мир четырехмерных многообразий», (2016)
D. Rolfsen, «Knots and Links», (1976)

Пререквизиты:
Курс рассчитан на тех, кто уже знаком с базовыми сюжетами маломерной топологии и желает углубить свои знания. Он является идеологическим ответвлением курса «Геометрическая теория узлов», прошедшего в осеннем и весеннем семестрах. Обзорный материал его первых двух лекций является необходимым (но не достаточным) пререквизитом.

От слушателей предполагается представление о следующих классических понятиях, конструкциях и сюжетах маломерной топологии.

1. Общие сведения о многообразиях: чем является край трехмерного многообразия?
2. Классификация поверхностей: чему равна эйлерова характеристика тора?
3. Теорема Дена — Ликориша: любую ли простую замкнутую кривую на поверхности можно перевести в любую другую последовательностью скручиваний Дена?
4. Можете ли вы назвать хотя бы 10 негомеоморфных трехмерных многообразий, хотя бы 3 из которых замкнуты?
5. Концепция склейки и трюк Александера: сколькими способами можно заклеить в 3-многообразии (а) граничную сферу шаром; (б) граничный тор полноторием?
6. Дополнение узла: как выписать копредставление фундаментальной группы узла по его диаграмме?

Курс посвящен доказательству теоремы об h-кобордизме – ключевому результату в теории многообразий старшей размерности. Теорема об h-кобордизме даёт необходимое и достаточное условие для того, чтобы два гладких замкнутых односвязных многообразия размерности хотя бы 5 были диффеоморфны. В частности, из этой теоремы следует обобщенная гипотеза Пуанкаре для многообразий старшей размерности.

Литература:
J. Milnor, «Lectures on h-cobordism theorem», (1965)
S. Smale, «On the structure of manifolds», (1962)
A. Scorpan, «The wild world of 4-manifolds», (2005)
A. A. Kosinski, «Differential manifolds», (2007)

Пререквизиты:
Дифференциальная топология (гладкие многообразия, критические точки, диффеоморфизмы, гладкие многообразия с границей), теория гомотопий и гомологий (гомотопии, фундаментальная группа, группы гомологий, числа Бетти).

Курс посвящен теории полупростых колец Веддербёрна – Артина. Кольцо с единицей называется полупростым, если все короткие точные последовательности левых модулей над ним расщепимы. Начнем с основных понятий и примеров, потом изучим такие кольца и докажем теорему Веддербёрна – Артина, которая гласит, что полупростые кольца это в точности конечные прямые произведения матричных колец над телами. Например, полупростые коммутативные кольца это в точности конечные прямые произведения полей.

Курс будет сопровождаться упражнениями и окончится добровольным экзаменом в формате решения задач.

Литература:
T.-Y. Lam, <<A First Course in Noncommutative Rings>>, (2001)
T.-Y. Lam, <<Exercises in Classical Ring Theory>>, (2003)

Пререквизиты:
Следующие вещи необходимо понимать для восприятия курса:
(1) Теория групп: сопряжение, нормальная подгруппа, циклическая группа, действие группы на множестве, абелева группа, изоморфизм групп.
(2) Теория колец: произведение колец, идеалы и их порождающие, изоморфизм колец и его ядро, универсальное свойства фактор-кольца, поле и его характеристика, область целостности и поле частных, кольцо многочленов.
(3) Теория модулей: фактор-модуль, прямая сумма модулей, конечно по-
рожденный модуль, векторное пространство и его размерность, базис, тензорные произведения.

Cледующие темы будут напомнены при необходимости:
(1) Теория групп: полупрямое произведение групп.
(2) Теория колец: подалгебры, локальное кольцо, алгебра Ли, теорема Гильберта о базисе.
(3) Теория модулей: точные последовательности, циклические модули, композиционный ряд модуля.
(4) Теория категорий: аддитивная категория.

Характеризация нетеровых и артиновых модулей будет напомнена без доказательства.

Основная цель курса – расширить все ключевые интуиции слушателей с 1-категорий в традиционном смысле (то есть, 1-усеченных 1-категорий или (1, 1)-категорий) до 1-категорий в современном смысле (то есть, (∞, 1)-категорий). Передать понимание, что это такой же естественный объект и развить навык работы с ним. В качестве мотивации, можете ознакомиться с этой серией постов. После установления основ, большая часть курса будет излагаться на инвариантном языке.

План:
1. Обзор формализма модельных категорий Квиллена (главный инструмент для представления когерентных объектов на традиционном 0-когерентном/дискретном языке).
2. Симплициальные множества как модели типов (то есть, (∞, 0)-категорий / ∞-группоидов). Базовые понятия и конструкции с типами.
3. Категории.
4. Сопряжения, расширения Кана, пределы и копределы, монады.
5. Классы моно/эпи морфизмов, системы факторизации, генераторы.
6. Локально представимые категории, алгебраические категории.
7. Топосы.
8. Моноидальные категории.
9. Стабильные категории.

Все пункты 3-9 подразумевают "связанные понятия, свойства, конструкции, примеры".
Будет несколько листочков с задачами и экзамен в формате решения задач для желающих.

Литература:
J. Lurie, <<Higher Topos Theory>>, (2008)
J. Lurie, <<Higher Algebra>>, (2017)
D. C. Сisinski, <<Higher Categories and Homotopical Algebra>>, (2022)
L. Martini, S. Wolf, <<Internal higher category theory>>, (серия работ 2021-2024)
+ S. Balchin, <<A Handbook of Model Categories>>, (2021) и разные статьи

Пререквизиты:
Формально минимальных пререквизитов совсем не много:

1. Азы классической теории категорий (пределы, сопряжения, лемма Йонеды)
2. Азы теории гомотопий (достаточно 0-ой и 1-ой главы Хатчера и представления о старших гомотопических группах)

Строго говоря, этого должно быть достаточно, чтобы воспринимать 90% курса, потому что все категорные понятия будут определяться – в этом смысле, знание их классических 1-усеченных аналогов не необходимо.

Но, в действительности лекции будут ориентированы на людей уже знакомых с:

1. Соответствующими темами классической теории категорий. На курсе акцент будет в уточнении и расширении этого понимания на неусеченный случай (вместо того, чтобы организовывать обучение этим понятиям с нуля). Этот пререквизит может быть заполнен, например, этим курсом.

2. Формализмом модельных категорий, потому что они будут обсуждаться совсем кратко. Этот пререквизит может быть заполнен тремя трехчасовыми докладами с семинара по исчислению Гудвилли (матфак ВШЭ, весна 2024).

TBA

Литература:
I. Moerdijk, G. E. Reyes, <<Models for smooth infinitesimal analysis>>, (1991)
A. Kock, <<Synthetic Differential Geometry>>, (2006)
A. Kock, <<Synthetic Geometry of Manifolds>>, (2009)

+ множество современных статей

Пререквизиты:
1. Вводный курс гладкой геометрии (например, достаточно J. M. Lee, <<Introduction to Smooth Manifolds>>, (2000))
2. Владение языком теории категорий (пределы, сопряжения)

В данном курсе я расскажу сначала некоторое алгебро-геометрическое введение в эллиптические кривые, конечно же подробно будет рассмотрена групповая структура на эллиптических кривых и знаменитые теоремы Мазура и Морделла. Весь курс будет в основном концентрироваться на алгебраических аспектах эллиптических кривых, так, например, разговора об эллиптических интегралах не предполагается, также, различные алгоритмические приложения будут упомянуты лишь вскользь, либо не будут упомянуты вовсе. Зато курс будет пронизан теоретико-числовыми приложениями, главным и самым известным из которых по сей день остается ВТФ.

Литература:
J. Silverman, <<Arithmetic of Elliptic Curve>>, (1986)
A. Lozano-Robledo, <<An Introduction to the Arithmetic of Elliptic Curves>>, (2021)
F. Lemmermeyer, <<Topics in Algebraic Geometry: Elliptic Curves>>, (2004)
Также в чате курса после каждой лекции будут выкладываться материалы, на которых она основана.


Пререквизиты:
Университетский курс алгебры (группы, поля, расширение полей, группа Галуа, проективный предел, тензорное произведение). Также будут использоваться когомологии и точные последовательности, но их определения будут напомнены при надобности.

Комплексный анализ (интеграл по контуру, понятия голоморфной, мероморфной функций, полюсов и вычета). Комплексный анализ будет нужен лишь в рассмотрении одной темы, которую при желании можно пропустить.

Классические узлы можно изучать разными методами: топологическими, алгебраическими, комбинаторными, ect. В курсе мы сосредоточимся на геометрических аспектах, а именно, изучим важный (возможно, важнейший) класс узлов – гиперболические узлы (узел называется гиперболическим, если его дополнение допускает полную гиперболическую метрику постоянной отрицательной кривизны -1).

Планируется обсудить ключевые инварианты узлов, возникающие из гиперболической геометрии, а также планируется доказать теорему Менаско об альтернированных гиперболических узлах.

В начале курса будут напомнены основы трехмерной гиперболической геометрии, а также необходимая нам часть общей теории геометрических структур на многообразиях.

Литература:
J. Purcell, «Hyperbolic knot theory»‎, (2020)

Пререквизиты:
Университетский курс топологии (накрытия, фундаментальная группа, многообразие).

Знакомство с теорией узлов будет полезно, но не является обязательным.

В этом курсе мы познакомимся с различными теориями гравитации. Дадим общие сведения о том, что такое гравитация, в чем математически состоит ее суть. Рассмотрим основы римановой геометрии и применим к математике общей теории относительности Эйнштейна. Посмотрим на основные решения (в задачах) в 4-х мерной гравитации: метрика Шварцшильда, метрика Керра вращающейся черной дыры, метрика Фридмана для однородной Вселенной. Подметим как 3-топология пространственной части вселенной влияет на физику.

Изучим основные аспекты геометрии Картана и пощупаем современные теории гравитации возникающие в контексте М-теории.

Литература:
Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, «Гравитация», (1977)
Н. П. Коноплева, В. Н. Попов, «Калибровочные поля», (2000)
С. Хокинг, В. Израэл, «Общая теория относительности», (1983).
S. Carlip, «Quantum Gravity: a Progress Report», (2001)
М. О. Катанаев, «Геометрические методы в математической физике», (2013)
Р. М. Уолд, «Общая относительность», (2008)
В. А. Франке, С. Н. Манида, С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, «Quantization of gravitation I. Metric tensor approach», (2009)
В. А. Франке, С. Н. Манида, С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, «Quantization of gravitation II. Tetrad approach», (2007)

Пререквизиты:
Основы дифференциальной геометрии.

TBA

Литература:
TBA

Пререквизиты:
TBA

Курс посвящен разнообразным теоремам о неподвижных точках разных однозначных и многозначных отображений. Многие современные задачи посвящены вопросам существования решений уравнений или равновесий систем, среди которых есть и задача тысячелетия. Существование решений многих задач сводится к задаче поиска неподвижной точки некоторого отображения. Обычно студенты-математики изучают, например, теоремы Брауэра и Банаха о неподвижных точках, которые имеют множество приложений. Неужели на этом весь список теорем исчерпывается? Исследование нелинейных задач математической физики привело к появлению новых концепций, обобщающих принцип сжимающих отображений. Более того, оказывается, что вопрос существования равновесия Нэша в теории игр, также сводится к вопросу существования неподвижной точки специального многозначного отображения. Автор курса ставит перед собой задачу собрать в одном месте набор теорем, разрозненных по монографиям и статьям или отсутствующих в русскоязычной литературе.

Литература:
H. K. Pathak, «An Introduction to Nonlinear Analysis and Fixed Point Theory», (2018)

P. V. Subrahmanyam, «Elementary Fixed Point Theorems», (2018)

K. C. Border, «Fixed point theorems with applications to economics and game theory», (1985)

M. R. Alfuraidan, Q. H. Ansari, «Fixed Point Theory and Graph Theory», (2016)

Ю. Г. Борисович , Б. Д. Гельман , А. Д. Мышкис , В. В. Обуховский, «Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений», (2010)

Е.С. Половинкин, «Многозначный анализ и дифференциальные включения», (2015)

Пререквизиты:
Компактность и выпуклость множеств. Понятие непрерывности функционалов и операторов. Теоремы Банаха и Брауэра о неподвижной точке.

Поговорим о том, как классические понятия непрерывной математики (многообразия, аппроксимация) преломляются в призме машинного обучения. Цели курса – подойти к полной задаче manifold regularization и понять, зачем она нужна в современном машинном обучении, и немного поговорить о сходимости и аппроксимации в целом на примере физически-обоснованных сетей.

Литература:
M. Belkin, P. Niyogi, V. Sindhwani, <<Manifold regularization: A geometric framework for learning from labeled and unlabeled examples>>, (2006)

M. Raissi, P. Perdikaris, G. E. Karniadakis, <<Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations>>, (2019)

Пререквизиты:
Топология (многообразия, потоки над многообразиями, в целом достаточно знаний основных определений), функциональный анализ (банаховы, гильбертовы пространства, основные свойства и определения).

В этом курсе я расскажу о некоторых методах решения систем уравнений над группами, а так же результаты, полученные за последние несколько десятилетий.

Литература:
А. Клячко, «Теория групп», (2023-2024)
Статьи Антона Клячко

Пререквизиты:
Университетский курс алгебры, прочитать/решить по одной задаче из каждой темы спецкурса А. Клячко.

Конструктивная математика – это математика без аксиомы выбора и аксиомы исключенного третьего. Основная цель данного курса – это познакомить слушателей с данным видом математики и, возможно, развеять мифы, связанные с ней. Мы продемонстрируем как различные определения, конструкции и теоремы в алгебре и топологии переносятся в конструктивный контекст. Некоторые из них работают дословно и не требуют никаких модификаций, но иные претерпевают заметные изменения.

Данный курс можно разделить на три части. Первая часть является фундаментом для двух последующих. В ней мы обсудим базовые логические и теоретико-множественные вопросы. Во второй части речь пойдет об алгебре. Мы поговорим о различных видах колец и полей, а также мы затронем понятие алгебраических расширений полей. Третья часть будет посвящена общей топологии, где главным объектом изучения у нас будут локали. Кроме того, мы узнаем как правильно конструктивно определяются вещественные числа и другие полные метрические пространства.

План:

I. Логика и теория множеств

1. Введение и мотивация
2. Логика
3. Конструкция на множествах
4. Множество значений истинности
5. Конечные множества
6. Мощность множества
7. Индуктивные определения

II. Алгебра

8. Порядки
9. Базовые структуры (моноиды, группы, кольца, модули)
10. Группы
11. GCD-моноиды
12. Кольца, домены, поля
13. Виды доменов
14. Кольцо полиномов
15. Линейная алгебра, матрицы
16. Кольца Смита
17. Интегральные расширения
18. Минимальный полином
19. Алгебраические расширения
20. Алгебраическое замыкание

II. Топология

21. Локали
22. Подлокали
23. Компактность
24. Плотность
25. Cover spaces
26. Пополнение
27. Эквивалентность cover spaces и локалей.
28. Вещественные числа

Литература:
R. Mines, F. Richman, W. Ruitenburg, «A Course in Constructive Algebra», (1988)
H. Lombardi, C. Quitté, «Commutative algebra: constructive methods. Finite projective modules», (2011)
P. T. Johnstone, «Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium», (2002)
P. T. Johnstone, «Stone spaces», (1986)

Пререквизиты:
Базовая алгебра (группы, кольца, идеалы, локализация колец, поля, алгебраические расширения полей, матрицы, детерминант).
Основы общей топологии (топологические пространства, метрические пространства).
Основы теории категорий (эквивалентность категорий, сопряженные функторы, рефлективные подкатегории).