Предметом планируемого курса являются непрерывные кривые f: S¹ → S², заполняющие сферу, естественным образом возникающие в теории трехмерных гиперболических многообразий, расслоенных над окружностью, а также в теории квазигеодезических потоков на трехмерных замкнутых гиперболических многообразиях. Попытка увидеть аппроксимации этих кривых привела к созданию так называемых когомологических фракталов (последнее название связано просто с фрактальной структурой аппроксимации). Курс будет построен следующим образом: мы будем разбирать статьи, указанные в списке литературы, и попутно обращаться к теории автоморфизмов поверхностей по Нильсону и Терстону.

Литература:
J. Cannon, W. Thurston, <<Group invariant Peano curves>>, (2007)
S. Frankel, <<Quasigeodesic flows and sphere-filling curves>>, (2012)
D. Bachman, M. Goerner, S. Schleimer, H. Segerman, <<Cohomology fractals, Cannon – Thurston maps, and the geodesic flow>>, (2020)

Пререквизиты:
Основы топологии (понятие гомеоморфизма, стягиваемого пространства, расслоения, различные версии теорем о неподвижных точках, компактность, универсальное накрывающее, понятие фундаментальной группы, основы теории гомологий), элементарная теория гладких многообразий, основы геометрической теории групп (граф Кэли группы, понятие квазигеодезической, курса А. В. Малютина бы точно хватило). Из дифференциальной геометрии полезно было бы знать понятие риманового многообразия, кривизны, потока, cut locus.

Курс предлагает введение в мат. логику и теорию типов, а также обзор различных формальных систем, современных theorem prover'ов и их истории. В течение семинара предлагается освоить одно из программных средств доказательства теорем (Arend, agda, Coq) и формализовать с помощью него небольшой кусочек математики (алгебры или анализа).

Литература:
to be determined

Пререквизиты:
Умение подставлять одни выражения в другие и замечать аналогии.

Курс посвящен обзору восьми различных эквивалентных определений гомологической сферы Пуанкаре — пространства, послужившего контрпримером к первоначальной ошибочной гипотезе А. Пуанкаре о характеризации трёхмерной сферы. Для эффективной работы с этим пространством мы обратимся к визуализациям таких фундаментальных объектов и понятий двумерной, трёхмерной и четырёхмерной топологии и теории узлов, как вещественные и комплексные проективные пространства, разветвлённые накрытия, кватернионы, разложения на ручки, комплексные гиперповерхности, расслоение Хопфа и главные расслоения со слоем окружность, двойственность Пуанкаре, скручивания Дена по кривым и хирургии Дена по узлам, орбифолды, трёхмерные и четырёхмерные многогранники, матричные группы Ли. Таким образом, рассмотрев каждую из восьми конструкций гомологической сферы Пуанкаре и доказав их эквивалентность, мы вовлечём, применим и тем самым освоим «вживую» множество центральных концепций геометрической и алгебраической топологий, изучая не «слои» теории многообразий малой размерности, а — пронизывая эти слои — всю маломерную топологию одновременно.

Литература:
Р. Кёрби, М. Шарльманн, «Восемь ликов гомологической трехмерной сферы Пуанкаре», (1982)
С. Матвеев, А. Фоменко, «Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии», (1991)
В. Прасолов, А. Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», (1997)
Н. Савельев, «Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона», (2004)
Р. Гомпф, А. Штипшиц, «Четырехмерные многообразия и исчисление Кирби», (2013)
А. Скорпан, «Удивительный мир четырехмерных многообразий», (2016)
D. Rolfsen, «Knots and Links», (1976)

Пререквизиты:
Курс рассчитан на тех, кто уже знаком с базовыми сюжетами маломерной топологии и желает углубить свои знания. Он является идеологическим ответвлением курса «Геометрическая теория узлов», прошедшего в осеннем и весеннем семестрах. Обзорный материал его первых двух лекций является необходимым (но не достаточным) пререквизитом.

От слушателей предполагается представление о следующих классических понятиях, конструкциях и сюжетах маломерной топологии.

1. Общие сведения о многообразиях: чем является край трехмерного многообразия?
2. Классификация поверхностей: чему равна эйлерова характеристика тора?
3. Теорема Дена — Ликориша: любую ли простую замкнутую кривую на поверхности можно перевести в любую другую последовательностью скручиваний Дена?
4. Можете ли вы назвать хотя бы 10 негомеоморфных трехмерных многообразий, хотя бы 3 из которых замкнуты?
5. Концепция склейки и трюк Александера: сколькими способами можно заклеить в 3-многообразии (а) граничную сферу шаром; (б) граничный тор полноторием?
6. Дополнение узла: как выписать копредставление фундаментальной группы узла по его диаграмме?

Курс посвящен доказательству теоремы об h-кобордизме – ключевому результату в теории многообразий старшей размерности. Теорема об h-кобордизме даёт необходимое и достаточное условие для того, чтобы два гладких замкнутых односвязных многообразия размерности хотя бы 5 были диффеоморфны. В частности, из этой теоремы следует обобщенная гипотеза Пуанкаре для многообразий старшей размерности.

Литература:
J. Milnor, «Lectures on h-cobordism theorem», (1965)
S. Smale, «On the structure of manifolds», (1962)
A. Scorpan, «The wild world of 4-manifolds», (2005)
A. A. Kosinski, «Differential manifolds», (2007)

Пререквизиты:
Дифференциальная топология (гладкие многообразия, критические точки, диффеоморфизмы, гладкие многообразия с границей), теория гомотопий и гомологий (гомотопии, фундаментальная группа, группы гомологий, числа Бетти).

Курс посвящен теории полупростых колец Веддербёрна – Артина. Кольцо с единицей называется полупростым, если все короткие точные последовательности левых модулей над ним расщепимы. Начнем с основных понятий и примеров, потом изучим такие кольца и докажем теорему Веддербёрна – Артина, которая гласит, что полупростые кольца это в точности конечные прямые произведения матричных колец над телами. Например, полупростые коммутативные кольца это в точности конечные прямые произведения полей.

Курс будет сопровождаться упражнениями и окончится добровольным экзаменом в формате решения задач.

Литература:
T.-Y. Lam, <<A First Course in Noncommutative Rings>>, (2001)
T.-Y. Lam, <<Exercises in Classical Ring Theory>>, (2003)

Пререквизиты:
Следующие вещи необходимо понимать для восприятия курса:
(1) Теория групп: сопряжение, нормальная подгруппа, циклическая группа, действие группы на множестве, абелева группа, изоморфизм групп.
(2) Теория колец: произведение колец, идеалы и их порождающие, изоморфизм колец и его ядро, универсальное свойства фактор-кольца, поле и его характеристика, область целостности и поле частных, кольцо многочленов.
(3) Теория модулей: фактор-модуль, прямая сумма модулей, конечно по-
рожденный модуль, векторное пространство и его размерность, базис, тензорные произведения.

Cледующие темы будут напомнены при необходимости:
(1) Теория групп: полупрямое произведение групп.
(2) Теория колец: подалгебры, локальное кольцо, алгебра Ли, теорема Гильберта о базисе.
(3) Теория модулей: точные последовательности, циклические модули, композиционный ряд модуля.
(4) Теория категорий: аддитивная категория.

Характеризация нетеровых и артиновых модулей будет напомнена без доказательства.

Этот курс посвящен изучению квандлов и их приложениям в теории узлов. Хотя аксиомы квандлов на первый взгляд могут показаться довольно неестественными, они позволяют практически полностью выразить теорию узлов на языке алгебры. Курс мы начнем с введения основных понятий и свойств квандлов, а также обсудим, как они приводят к инвариантам узлов (таким как раскраски и полином Александера). Особое внимание будет уделено теореме Джойса, которая утверждает, что квандлы дают почти полный инвариант узла. Далее мы рассмотрим топологические квандлы и то, какие инварианты узлов они порождают. В заключительной части курса мы обсудим гомологии квандлов.

Литература:
M. Elhamdadi, S. Nelson, «Quandles: an introduction to the algebra of knots», (2015)
T. Nosaka, «Quandles and topological pairs: symmetry, knots, and cohomology», (2017)

Пререквизиты:
Базовые понятий из линейной алгебры и теории групп; знакомство с фундаментальной группой топологического пространства.

Данный курс предполагается кратким введением в конечномерную квантовую механику и её математическую структуру. Мы обсудим основные понятия квантовой механики, узнаем, что же такое спин, а после обсудим некоторые связанные математические сюжеты. Примерный список возможных тем следующий: спин и теория представлений, спинорные расслоения, квантовая механика как некоммутативное обобщение теории вероятностей и статистики, многообразия когерентных состояний, комплексная геометрия и пространства чистых состояний, связь пространств матриц плотности с многообразиями флагов, геометрия запутанных и сепарабельных состояний, спиновые цепочки и анзац Бете. Конкретный выбор тем будет произведен с учётом времени и пожеланий аудитории.

Литература:
В. Киселев, «Квантовая механика», (2005)
P. Woit, «Quantum Theory, Groups and Representations: An Introduction», (2021)
N. Miller, «Representation Theory And Quantum Mechanics», (2018)
I. Bengtsson, K. Zyczkowski, «Geometry of quantum states», second edition, (2017)

Пререквизиты:
Основы теоретической механики (лагранжев и гамильтонов формализм, теорема Нётер), теории представлений (неприводимые представления, лемма Шура), дифференциальной геометрии (многообразия, дифференциальные формы, могут пригодится расслоения). Также приветствуются, однако необязательны, знания по комплексной и проективной алгебраической геометрии.

Курс будет вольным пересказом книжки Хамфриса. Докажем классификационную теорему и немного позанимаемся представлениями.

Литература:
Дж. Хамфрис, «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», (2003)

Пререквизиты:
Университетский курс линейной алгебры (векторные пространства, линейные операторы)

Основная цель курса – расширить все ключевые интуиции слушателей с 1-категорий в традиционном смысле (то есть, 1-усеченных 1-категорий или (1, 1)-категорий) до 1-категорий в современном смысле (то есть, (∞, 1)-категорий). Передать понимание, что это такой же естественный объект и развить навык работы с ним. В качестве мотивации, можете ознакомиться с этой серией постов. После установления основ, большая часть курса будет излагаться на инвариантном языке.

План:
1. Обзор формализма модельных категорий Квиллена (главный инструмент для представления когерентных объектов на традиционном 0-когерентном/дискретном языке).
2. Симплициальные множества как модели типов (то есть, (∞, 0)-категорий / ∞-группоидов). Базовые понятия и конструкции с типами.
3. Категории.
4. Сопряжения, расширения Кана, пределы и копределы, монады.
5. Классы моно/эпи морфизмов, системы факторизации, генераторы.
6. Локально представимые категории, алгебраические категории.
7. Топосы.
8. Моноидальные категории.
9. Стабильные категории.

Все пункты 3-9 подразумевают "связанные понятия, свойства, конструкции, примеры".
Будет несколько листочков с задачами и экзамен в формате решения задач для желающих.

Литература:
J. Lurie, <<Higher Topos Theory>>, (2008)
J. Lurie, <<Higher Algebra>>, (2017)
D. C. Сisinski, <<Higher Categories and Homotopical Algebra>>, (2022)
L. Martini, S. Wolf, <<Internal higher category theory>>, (серия работ 2021-2024)
+ S. Balchin, <<A Handbook of Model Categories>>, (2021) и разные статьи

Пререквизиты:
Формально минимальных пререквизитов совсем не много:

1. Азы классической теории категорий (пределы, сопряжения, лемма Йонеды)
2. Азы теории гомотопий (достаточно 0-ой и 1-ой главы Хатчера и представления о старших гомотопических группах)

Строго говоря, этого должно быть достаточно, чтобы воспринимать 90% курса, потому что все категорные понятия будут определяться – в этом смысле, знание их классических 1-усеченных аналогов не необходимо.

Но, в действительности лекции будут ориентированы на людей уже знакомых с:

1. Соответствующими темами классической теории категорий. На курсе акцент будет в уточнении и расширении этого понимания на неусеченный случай (вместо того, чтобы организовывать обучение этим понятиям с нуля). Этот пререквизит может быть заполнен, например, этим курсом.

2. Формализмом модельных категорий, потому что они будут обсуждаться совсем кратко. Этот пререквизит может быть заполнен тремя трехчасовыми докладами с семинара по исчислению Гудвилли (матфак ВШЭ, весна 2024).

Алгебраическая геометрия, посвященная первоначально изучению квазипроективных многообразий над полями, в середине 20 века под влиянием гения Александра Гротендика претерпела монументальную унифицирующую концептуализацию, «схемную революцию». С современной точки зрения (которая также выросла из идей Гротендика, последовавших за первоначальным более сложным понятием схемы как локально окольцованного пространства) она формулируется в двух тезисах

1. Каждое коммутативное кольцо следует рассматривать как кольцо функций (уникально соответствующего ему) аффинного пространства.
2. Произвольное пространство определяется тем, как в него отображаются аффинные.

Схемная революция обеспечила не только систематические и концептуально простые трактовки множества разрозненных результатов классической алгебраической геометрии, но и (радикально расширив понятие алгебраического многообразия) открыла новые глубокие связи в математике (например, так возникла область арифметической геометрии, неразрывно связанная с теорией чисел). В совокупности она привела к колоссальному прогрессу (начиная непосредственно с доказательства гипотез Вейля, мотивировавших школу Гротендика и Серра). В первое время функториальная точка зрения Гротендика (как она изложена выше) не играла большой роли в схемной революции (достаточно было понимать схему как локально окольцованное топологическое пространство), но позже она становилась все значимее (многие важные пространства не были схемами --- такие, как алгебраические пространства Артина и стеки). В наши годы идея топосов пространств уже воплощается в полной форме, с такими влиятельными примерами как конденсированная математика Шольце и Клаузена.

Естественно идеи схемной революции вдохновили пересмотреть другие разделы геометрии аналогичным образом. Что является аналогом коммутативного кольца для гладкой геометрии?

Кольцо гладких функций гладкого многообразия имеет естественную дополнительную структуру: к набору элементов a₁, .., aₙ можно применить не только целочисленный многочлен p : ℤ[x₁, .., xₙ] (что в точности составляет структуру кольца), а любую гладкую функцию f : C^∞(ℝⁿ). Категория C^∞-колец (то есть, множеств, снабженных согласованным действием гладких функций ℝⁿ → ℝ для всех n) — это обычная алгебраическая категория (как, например, Group, Ring, R-Mod) со всеми их общими местами и хорошими свойствами.

Дульная ей категория гладких локусов Locus — это естественный сетттинг для дифференциальной геометрии. В качестве некоторых ярких преимуществ, на ряду с гладкими многообразиями, она единообразно включает, например, гладкие многообразия с углами / стратификациями, комплексы (кусочно-гладкие пространства), инфинитезимальные пространства и многие другие интересные пространства. Со всеми релевантными геометрическими понятиями и структурами для всех её объектов (например, касательные расслоения и, более обще, расслоения струй являются просто пространствами отображений из соответствующих инфинитезимальных пространств; т.е. эти функторы становятся представимыми). Также она имеет все пределы и копределы, что, например, позволяет прямо говорить о пространствах струй бесконечного порядка (подпространства которых суть дифференциальные уравнения на исходном многообразии, как это развито в подходе Виноградова, Красильщика, Вербовецкого и других).

Но категория Locus (как и её аналог категория аффинных схем) не содержит такие естественные и представляющие большой классический интерес объекты, как пространства гладких отображений Hom(M, N). Эта потребность (совместно с другими аспектами) реализуется вложением Locus в топос гладких пространств Space, как это предписывает второй тезис. Помимо прочего, абстрактно в топосах очень легко работать, потому что их объекты ведут себя как множества — в них внутренне определимы все математические понятия и про них верны все теоремы, доказываемые конструктивно. Изложение дифференциальной геометрии на внутреннем языке таких гладких топосов это и есть то что называется синтетической дифференциальной геометрией.

Основные цели настоящего курса

1. Изложение основ гладкой геометрии, как она представлена выше. В частности, мы покроем основные идеи из Models for smooth infinitesimal analysis (1991) и Smooth manifolds and observables (2020). Доступ к инфинитезималям позволяет особенно ясно и элегантно обсуждать фундаментальные геометрические сущности, такие как связности на расслоениях. Мы покажем как органично включаются в этот контекст разные локальные концептуализации гладкой геометрии, такие гладкие множества/диффиологические пространства, diffiety Виноградова, гладкая D-геометрия, естественные расслоения и операции.

2. Изложение приложений этого языка к бесконечномерным гладким пространствам, естественно возникающим в классической дифференциальной геометрии, геометрическом и глобальном анализе (классически изучающиеся с помощью функционального анализа, через такие понятия как многообразия Фреше). В частности, будет представлено Арнольдовское понимание гидродинамики как дифференциального уравнения на пространстве автодиффеоморфизмов гладкого многообразия (мыслимого как пространство состояний жидкости) см. Alexander Schmeding - An Introduction to Infinite-Dimensional Differential Geometry (2022).

Литература:
I. Moerdijk, G. E. Reyes, «Models for smooth infinitesimal analysis», (1991)
A. Kock, «Synthetic Geometry of Manifolds», (2009)
P. Iglesias-Zemmour, «Diffeology», (2013)
I. Khavkine, U. Schreiber, «Synthetic geometry of differential equations: I. Jets and comonad structure» (2017)
M. Bunge, F. Gago, А. М. San Luis, «Synthetic Differential Topology», (2018)
G. Giotopoulos, H. Sati, «Field Theory via Higher Geometry I: Smooth Sets of Fields» (2023)

I. Kolar, P. W. Michor, J. Slovak, «Natural operations in differential geometry», (1993)
L. W. Tu, «Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic Classes», (2017)
Jet Nestruev, «Smooth manifolds and observables», (2020)
A. Schmeding, «An Introduction to Infinite-Dimensional Differential Geometry», (2022)
I. S. Krasil'shchik, A. B. Sossinsky, A. M. Verbovetsky, «The Diverse World of PDEs, Algebraic and Cohomological Aspects», (2023)

И множество статей.

Пререквизиты:
Курс не предполагает пререквизитов выходящих за рамки первых двух курсов бакалавриата. Достаточно знакомство с языком теории категорий (пределы, сопряжения, лемма Йонеды), основами классической гладкой геометрии (векторные поля, дифференциальные уравнения, римановы метрики). В зависимости от аудитории те или иные вещи могут напоминаться.

TBA

Литература:
C. Weibel, <<The K-book: an introduction to algebraic K-theory>>, (2013)
J. Rosenberg, <<Algebraic K-Theory and Its Applications>>, (1994)
Дж. Милнор, <<Введение в алгебраическую K-теорию>>, (1974)

Пререквизиты:
TBA

Классические узлы можно изучать разными методами: топологическими, алгебраическими, комбинаторными, ect. В курсе мы сосредоточимся на геометрических аспектах, а именно, изучим важный (возможно, важнейший) класс узлов – гиперболические узлы (узел называется гиперболическим, если его дополнение допускает полную гиперболическую метрику постоянной отрицательной кривизны -1).

Планируется обсудить ключевые инварианты узлов, возникающие из гиперболической геометрии, а также планируется доказать теорему Менаско об альтернированных гиперболических узлах.

В начале курса будут напомнены основы трехмерной гиперболической геометрии, а также необходимая нам часть общей теории геометрических структур на многообразиях.

Литература:
J. Purcell, «Hyperbolic knot theory»‎, (2020)

Пререквизиты:
Университетский курс топологии (накрытия, фундаментальная группа, многообразие).

Знакомство с теорией узлов будет полезно, но не является обязательным.

В этом курсе мы познакомимся с различными теориями гравитации. Дадим общие сведения о том, что такое гравитация, в чем математически состоит ее суть. Рассмотрим основы римановой геометрии и применим к математике общей теории относительности Эйнштейна. Посмотрим на основные решения (в задачах) в 4-х мерной гравитации: метрика Шварцшильда, метрика Керра вращающейся черной дыры, метрика Фридмана для однородной Вселенной. Подметим как 3-топология пространственной части вселенной влияет на физику.

Изучим основные аспекты геометрии Картана и пощупаем современные теории гравитации возникающие в контексте М-теории.

Литература:
Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, «Гравитация», (1977)
Н. П. Коноплева, В. Н. Попов, «Калибровочные поля», (2000)
С. Хокинг, В. Израэл, «Общая теория относительности», (1983).
S. Carlip, «Quantum Gravity: a Progress Report», (2001)
М. О. Катанаев, «Геометрические методы в математической физике», (2013)
Р. М. Уолд, «Общая относительность», (2008)
В. А. Франке, С. Н. Манида, С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, «Quantization of gravitation I. Metric tensor approach», (2009)
В. А. Франке, С. Н. Манида, С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, «Quantization of gravitation II. Tetrad approach», (2007)

Пререквизиты:
Основы дифференциальной геометрии.

Данный курс предполагается «ступенчатым». Первая лекция будет посвящена основаниям математики. Далее опишем элементы дифференциальной геометрии в плоском случае и перейдём к гладким многообразиям. Рассмотрим (ко)гомологии де Рама, дифференциальные операторы на гладких многообразиях, каноническую мультисимплектическую структуру на расслоении струй.

Изложение материала выше будет с прицелом на его обобщение для некоммутативной геометрии. В финальной части курса будет рассказано о некоммутативной геометрии и её физических приложениях.

Литература:
I. H. Madsen, J. Tornehave, «From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes», (1997)
W. D. Van Suijlekom, «Noncommutative geometry and particle physics», (2015)

Пререквизиты:
Знакомство с понятиями модуля над алгеброй, интегрированием по Лебегу, дифференциального уравнения; наличие базовых представлений о гомологической алгебре.

Курс посвящен разнообразным теоремам о неподвижных точках однозначных и многозначных отображений. Многие современные задачи посвящены вопросам существования решений уравнений или равновесий систем, игр. Среди них есть и задача тысячелетия.

Вопрос существования решений некоторых задач сводится к поиску неподвижной точки некоторого отображения. В рамках в базовых курсов обычно приводятся только самые известные теоремы, а именно теоремы Брауэра и Банаха о неподвижных точках, которые имеют множество приложений. Неужели на этом весь список теорем заканчивается? Исследование нелинейных задач мат. физики привело к появлению новых теорем о неподвижных точках, обобщающих идеи классических утверждений. Более того, оказывается, что даже в таких разделах как теория игр и мат. экономика находят свое место неподвижные точки. Так, Джон Нэш показал, что вопрос существования оптимальных стратегий игроков сводится к поиску неподвижной точки специального многозначного отображения.

Курс разбит на 2 части: неподвижные точки однозначных и многозначных отображений. В рамках курса автор, предполагает формирование листочков заданий, для тех, кто захочет самостоятельно что-то подоказывать. В общей сложности предполагается проведение от 14 до 16 лекций.

Автор курса ставит перед собой задачу собрать в одном месте набор теорем, разрозненных по монографиям и статьям или вовсе отсутствующих в русскоязычной литературе. Курс не предполагает специальных знаний, кроме базовых фактов о топологических, метрических и нормированных пространствах. Необходимые факты будут упомянуты и приведены в рамках курса.

План:
Часть 1. Неподвижные точки однозначных отображений

Введение
Разнообразные сжимающие отображения
Теорема Каристи – Кирка о неподвижной точке и ее обобщения
Сжимающие отображения в топологических пространствах
Нерасширяющие отображения
Псевдосжимающие и почти сжимающие отображения
Неподвижные точки ориентированного графа
Обобщения теоремы Брауэра
Неподвижные точки в теории решеток

Часть 2. Неподвижные точки многозначных отображений

Сжимающие многозначные отображения
Теорема Какутани и ее обобщения
Теорема Ки Фана
Селекторы, теорема Майкла и теорема Браудера – Фана

Литература:
H. K. Pathak, «An Introduction to Nonlinear Analysis and Fixed Point Theory», (2018)
P. V. Subrahmanyam, «Elementary Fixed Point Theorems», (2018)
K. C. Border, «Fixed point theorems with applications to economics and game theory», (1985)
M. R. Alfuraidan, Q. H. Ansari, «Fixed Point Theory and Graph Theory», (2016)
Ю. Г. Борисович , Б. Д. Гельман , А. Д. Мышкис , В. В. Обуховский, «Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений», (2010)
Е.С. Половинкин, «Многозначный анализ и дифференциальные включения», (2015)

Пререквизиты:
Компактность и выпуклость множеств. Понятие непрерывности функционалов и операторов. Теоремы Банаха и Брауэра о неподвижной точке.

В курсе мы обсудим что такое К-теория, какие виды К-теорий бывают и как они связаны. С помощью К-теории мы докажем известные результаты о сферах и векторных полях:

0. Существование глобальных сечений касательного расслоения, теорему о еже для четномерных сфер (можно доказать без обобщенных теорий когомологий, но все равно для полноты мы это обсудим)

1. Сферы параллелизуемы только в 1,3,7-мерии. Эквивалентное этому утверждение: единственные евклидовы пространства со структурой делимой алгебры существуют в 2,4,8-мерии. Также это эквивалентно тому, что только в 1,3,7-мерии сферы наделяются структурой H-пространства.

2. Обсудим другие следствия теоремы об инварианте Хопфа.

3. Есть теорема Экмана–Радона–Гурвица, которая показывает, что на n-мерной сфере существует набор из как минимум rho(n) линейно-независимых векторных полей, где rho(n) – числа Радона–Гурвица. Долгое время был вопрос о том, а является ли это число максимальным. Адамс, пользуясь методами К-теории, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Мы разберем доказательства обоих утверждений.

Мы обсудим построение комплексной и вещественной К-теорий. Дадим довольно красивый и короткий путь к доказательству теоремы Ботта для комплексной и вещественной К-теории с помощью алгебр Клиффорда. Обсудим основные утверждения по типу теоремы Тома об изоморфизме, теоремы Свона, которая показывает, что топологическая К-теория является частным случаем алгебраической, теоремы Снейта, которая показывает, что К-теория имеет чисто алгебраическое описание без апелляции к векторным расслоениям. Пара слов о кобордизмах и их связи с К-теорией. Также затронем дифференциальные обобщенные теории когомологий и, в частности, К-теории.

Некоторые моменты, связанные с неважными техническими деталями, при построении К-теорий мы будем использовать без доказательств.

Литература:
A. Hatcher, «Vector Bundles and K-Theory», (2009)
M. Karoubi, «K-Theory. An Introduction», (1978)
C. A. Weibel, «The K-book. An Introduction to Algebraic K-theory», (2013)
C. Malkiewich, «Spectra and stable homotopy theory», (2023)
J. Lurie, «Higher Algebra», (2017)
W. S. Massey, «Singular Homology Theory», (1980)
S. O. Kochman, «Bordism, Stable Homotopy and Adams Spectral Sequences», (1996)
J. F. Adams, «Vector fields on spheres», (1961)
D. C. Ravenel, «Complex Cobordism and Stable Homotopy groups of Spheres», (1986)
D. Husemoller, «Fibre Bundles», (1994)

Пререквизиты:
Иметь представление о теориях когомологий, векторных расслоениях, базовых конструкциях, связанных с ними.

Все знают, что компактная ориентируемая поверхность без края гомеоморфна связной сумме торов. Теорема Дена – Ликориша утверждает, что любой гомеоморфизм такой поверхности, сохраняющий ориентацию, гомотопен композиции скручиваний Дена.

Если рассматривать некомпактные поверхности, всё становится сложнее, но и интереснее. В курсе мы докажем теорему о классификации поверхностей бесконечного типа – для такой классификации достаточно проконтролировать, как поверхность устроена «на бесконечности», что в целом не очень сложно. Также мы поговорим про гиперболические структуры на некомпактных поверхностях и обсудим аналог теоремы Дена – Ликориша.

Курс планируется наглядным, будет много картинок. Также я рассчитываю на живые обсуждения (как на самих лекциях, так и в другое время), в том числе касающиеся пока не решённых задач.

Литература:
J. Aramayona, N. G. Vlamis, «Big mapping class groups: an overview», (2020)
T. Aougab, P. Patel, N. G. Vlamis, «Isometry groups of infinite-genus hyperbolic surfaces», (2020)

Пререквизиты:
Для понимания достаточно на базовом уровне быть знакомым с топологией: общей (гомеоморфизмы, гомотопии), алгебраической (гомологии, фундаментальная группа) и дифференциальной (касательные расслоения, римановы метрики). Возможно, хватит понимания определений этих объектов на наглядном уровне.

Также не помешает знание каких-то простых фактов про обычные группы классов отображений, но, если потребуется, это будет быстро напомнено.

Курс представляет собой расширенный пререквизит к будущему курсу симплициальной теории гомотопий.

В математике мы часто хотим научиться понимать что-то про ручные пространства, составленные из склеенных между собой понятных кусочков.

О ручных пространствах удобно думать в свете комбинаторных моделей, которые их задают. Как только формализация понятия комбинаторной модели зафиксирована, появляется возможность оценить ее по следующим параметрам:

1) богатство (как много объектов и морфизмов может быть описано);
2) удобство (насколько просто могут быть закодированы инварианты);
3) раскованность (насколько хорошей получается данная категория).

В ходе четырех лекций мы придем к понятию симплициального множества и оценим его с этой перспективы.

План:
1. Комбинаторные модели и предпучки.
2. Нерв и комплекс Виеториса.
3. Йога Йонеды и пространства отображений.
4. Описание (ко)пределов в sSet, канонический коконус.
5. Сопряженность нерва и реализация, конечная декартовость реализации.
6. Замена Кана Ex^n и барицентрическое подразбиение.
7. Теорема о симплициальной аппроксимации для полиэдров.
8. Гомотопические группы сфер и раскраски.

В данном курсе симплициальные множества откроются как наличные, и их открытость в качестве подручного требует практической проекции. В целях доступности последней, будет предложено несколько листочков с задачами для желающих.

Литература:
E. Riehl, «A leisurely introduction to simplicial sets», (2011)
G. Friedman, «An elementary illustrated introduction to simplicial sets»‎, (2023)
Dmitri Pavlov, «Topology»‎, (2019)
Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups»‎, (2010)

Пререквизиты:
Базовая теория категорий (функтор и естественное преобразование, пределы и копределы, понятие сопряженного функтора), базовая общая топология (дизъюнктное объединение и произведение, топология подпространства, факторпространство).

Поговорим о том, как классические понятия непрерывной математики (многообразия, аппроксимация) преломляются в призме машинного обучения. Цели курса – подойти к полной задаче manifold regularization и понять, зачем она нужна в современном машинном обучении, и немного поговорить о сходимости и аппроксимации в целом на примере физически-обоснованных сетей.

Литература:
M. Belkin, P. Niyogi, V. Sindhwani, <<Manifold regularization: A geometric framework for learning from labeled and unlabeled examples>>, (2006)

M. Raissi, P. Perdikaris, G. E. Karniadakis, <<Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations>>, (2019)

Пререквизиты:
Топология (многообразия, потоки над многообразиями, в целом достаточно знаний основных определений), функциональный анализ (банаховы, гильбертовы пространства, основные свойства и определения).

В этом курсе я расскажу о некоторых методах решения систем уравнений над группами, а так же результаты, полученные за последние несколько десятилетий.

Литература:
А. Клячко, «Теория групп», (2023-2024)
Статьи Антона Клячко

Пререквизиты:
Университетский курс алгебры, прочитать/решить по одной задаче из каждой темы спецкурса А. Клячко.

Конструктивная математика – это математика без аксиомы выбора и аксиомы исключенного третьего. Основная цель данного курса – это познакомить слушателей с данным видом математики и, возможно, развеять мифы, связанные с ней. Мы продемонстрируем как различные определения, конструкции и теоремы в алгебре и топологии переносятся в конструктивный контекст. Некоторые из них работают дословно и не требуют никаких модификаций, но иные претерпевают заметные изменения.

Данный курс можно разделить на три части. Первая часть является фундаментом для двух последующих. В ней мы обсудим базовые логические и теоретико-множественные вопросы. Во второй части речь пойдет об алгебре. Мы поговорим о различных видах колец и полей, а также мы затронем понятие алгебраических расширений полей. Третья часть будет посвящена общей топологии, где главным объектом изучения у нас будут локали. Кроме того, мы узнаем как правильно конструктивно определяются вещественные числа и другие полные метрические пространства.

План:

I. Логика и теория множеств

1. Введение и мотивация
2. Логика
3. Конструкция на множествах
4. Множество значений истинности
5. Конечные множества
6. Мощность множества
7. Индуктивные определения

II. Алгебра

8. Порядки
9. Базовые структуры (моноиды, группы, кольца, модули)
10. Группы
11. GCD-моноиды
12. Кольца, домены, поля
13. Виды доменов
14. Кольцо полиномов
15. Линейная алгебра, матрицы
16. Кольца Смита
17. Интегральные расширения
18. Минимальный полином
19. Алгебраические расширения
20. Алгебраическое замыкание

II. Топология

21. Локали
22. Подлокали
23. Компактность
24. Плотность
25. Cover spaces
26. Пополнение
27. Эквивалентность cover spaces и локалей.
28. Вещественные числа

Литература:
R. Mines, F. Richman, W. Ruitenburg, «A Course in Constructive Algebra», (1988)
H. Lombardi, C. Quitté, «Commutative algebra: constructive methods. Finite projective modules», (2011)
P. T. Johnstone, «Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium», (2002)
P. T. Johnstone, «Stone spaces», (1986)

Пререквизиты:
Базовая алгебра (группы, кольца, идеалы, локализация колец, поля, алгебраические расширения полей, матрицы, детерминант).
Основы общей топологии (топологические пространства, метрические пространства).
Основы теории категорий (эквивалентность категорий, сопряженные функторы, рефлективные подкатегории).

На семинаре планируется познакомиться с понятием модулярности в широком контексте, то есть изучить не только случай классических модулярных форм с целым весом, но и вариации модулярного поведения, такие как полуцелый вес (тэта-функции), добавление эллиптической переменной (формы Якоби), модулярные формы многих переменных (формы Зигеля), формы Маасса, "mock" модулярные формы (открытые Рамануджаном), квантовые модулярные формы (по Загиру). Все вариации модулярных форм будут рассматриваться в их взаимодействии с геометрией и физикой, в частности с теорией черных дыр, теорией представлений, а также с квантовыми инвариантами узлов.

Литература:
K. Bringmann, A. Folsom, K. Ono, and L. Rolen, «Harmonic Maass forms and mock modular forms: theory and applications», (2017)

S. Lang, «Introduction to modular forms», (2012)

M. Eichler and D. Zagier, «The theory of Jacobi forms», (1985)

A. Dabholkar, S. Murthy, and D. Zagier, «Quantum black holes, wall crossing, and mock modular forms», (2012)

D. Zagier, «Quantum modular forms», (2010)

S. Garoufalidis and D. Zagier, «Knots, perturbative series and quantum modularity», (2021)

Пререквизиты:
Университетский курс комплексного анализа (формула суммирования Пуассона).