В рамках курса мы рассмотрим разнообразные подходы и методы занятия математикой: развитие воображения и интуиции, применение больших языковых моделей в научной работе, организацию цифрового рабочего пространства математика, а также ключевые образовательные и академические аспекты.

Литература:
William P. Thurston, «On proof and progress in mathematics» (1994)
David Bessis, «Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity» (2024)

На летнем математическом лектории 2024 я прочитал два курса:
1. Введение в симплициальные множества;
2. Симплициальная теория гомотопий.
В первом курсе мы учились работать в топосах предпучков и развивали пространственные интуиции. Во втором курсе мы построили внутренним образом модельную структуру на категории sSet = PSh(Δ‎), и показали, что она Квиллен-эквивалентна стандартной модельной структуре на категории пространств. Тем самым, мы создали сеттинг для изучения теории гомотопий симплициальными методами.

Настоящий курс можно считать продолжением этих курсов.

Примерный план.

1. Эквивалентность Дольда-Кана и ее версии.
2. Башни Постникова и Уайтхеда.
3. Вычисление гомотопических (ко)пределов.
4. Результаты классической теории гомотопий симплициально (теоремы Гуревича, Брауна о представимости, Фрейденталя, Ботта-Самельсона, Хилтона-Милнора, построение спектралки Серра).
5. Принцип распетливания и конструкция Милнора.
6. Спектральная последовательность Кёртиса и гомотопические группы сфер.

Литература:
Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups»
Edward Curtis, «Simplicial homotopy theory» (1971)
Rick Jardine, «Lectures on Homotopy Theory»

Пререквизиты:
Уверенное обращение с симплициальными множествами, классическая теория гомотопий (расслоения и корасслоения, теорема Гуревича, теорема Фрейденталя).

В курсе мы затронем пререквизиты, необходимые для того, чтобы понять что такое лагранжевы многообразия, докажем основные теоремы, связанные с ними и (если успеется) посмотрим на то, где они встречаются в математической физике и не только.

Литература:
А.С. Мищенко, Б.Ю. Строение, В.Е. Шаталов, <<Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора>>
А.Л. Городенцев, <<Алгебра>>
Иосида, <<Функциональный анализ>>
J.Lee, <<Introduction to Reiman manifolds>>

Пререквизиты:
Желательно знать как работает грассманова алгебра, решаются базовые дифференциальные уравнения и иметь представления о том, что такое гладкое многообразие (но если не знаете, то не страшно, все разберем)

На курсе мы рассмотрим известные вероятностные неравенства концентрации для случайных величин, а также для случайных векторов и матриц. Затем мы обсудим геометрические приложения этих неравенств. В частности, рассмотрим гауссовскую версию теоремы Дворецкого-Мильмана, которая описывает "форму" гауссовской проекции множества, и поговорим про открытые задачи по данной теме.

Литература:
R. Schneider , W. Weil, «Stochastic and Integral Geometry», (2008)
R.Vershynin , «High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science», (2018)

Пререквизиты:
Базовый курс теории вероятностей (математическое ожидание, вероятности уклонений, предельные теоремы) и основы выпуклой геометрии (выпуклые компактные множества, проекции, сечения).

Курс посвящен теории возмущений линейных операторов, имеющей множество приложений как в задачах мат. физики, так и в задачах чистой математики. Теория возмущений была создана Рэлеем и Шрёдингером. Так Рэлей представил формулу для описания собственных частот и мод колебаний системы. Позже Шрёдингер развил данный метод для задач на собственные значения в квантовой механике. Будут изложены как классические и современные результаты в данной теории.

Литература:
T. Kato, <<Perturbation theory for linear operators>> (1966),
A. B. Aleksandrov & V. V. Peller, <<Functions of Pairs of Unbounded Noncommuting Self-Adjoint Operators under Perturbation>> (2022),
A. B. Aleksandrov & V. V. Peller, <<Functions of perturbed n-tuples of commuting self-adjoint operators>>, (2012)

Пререквизиты:
Университетский курс функционального анализа.

TBA

Литература:
Ravenel D. C, <<Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres>>, (2003).
Kochman S. O., <<Bordism, stable homotopy and Adams spectral sequences>>, (1996)

Пререквизиты:
Базовые знания о спектральных последовательностях.

В рамках курса рассматривается функциональное исчисление для сжатий, описанное в монографии Б. Секифальви-Надя и Ч. Фояша “Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве”. Следуя данной работе, в курсе будут рассмотрены унитарные дилатации сжатий и их спектральные свойства. Мы построим функциональное исчисление, основанное на применении спектральной теории к унитарной дилатации сжатия, т.е. мы опишем ограниченные аналитические в круге функции соответствующих операторов.

Литература:
Б. Секифальви-Надь, Ч. Фояш, <<Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве>>, (1970)

Пререквизиты:
Университетский курс функционального анализа.

Бимодули Зёргеля (Soergel bimodules) были введены Зёргелем в работе 92 года, где изучались их связи с теорией представлений групп Ли. В настоящий момент теория бимодулей Зёргеля вышла далеко за рамки теории представлений и является чрезвычайно эффективным инструментом в ряде областей математики (теория узлов, алгебраическая комбинаторика, алгебраическая геометрия, …). Небольшой список гипотез из разных областей математики, закрытых с использованием бимодулей Зергеля, можно найти на второй странице статьи “Gentle introduction to Soergel bimodules I: the basics”.

Курс представляет собой введение в эту теорию. После напоминании о группах Кокстера и алгебрах Гекке мы сосредоточимся на категорном аспекте — обсудим, как категории бимодулей Зёргеля категорифицируют алгебры Гекке, и какие следствия из этого получаются. Также мы обсудим вычислительные аспекты (в частности, вычисления с помощью диаграмм).

Литература:
N. Libedinsky, <<Gentle introduction to Soergel bimodules I: the basics>>
B. Elias, S. Makisumi, U. Thiel, G. Williamson <<Introduction to Soergel bimodules>>
B. Elias, M. Khovanov <<Diagrammatics for Soergel Categories>>

Пререквизиты:
Базовая математическая подготовка. Все необходимое будет напомнено.

Курс посвящен изучению кольца Int(Z) целозначных многочленов - многочленов с рациональными коэффициентами, принимающих целые значения на целых числах. Кроме этого, курс послужит кратким введением в сопутствующие темы коммутативной алгебры (кольца нормирования, Дедекиндовы области и области Прюфера, пополнения). Кольцо Int(Z) представляет собой один из простейших и естественных примеров ненётерового кольца. Мы найдём базис Int(Z) (как модуля над Z), докажем p-адический аналог теоремы Вейерштрасса-Стоуна, затем с помощью этого найдём спектр этого кольца и покажем, что оно является областью Прюфера. К концу обсудим обобщение этого понятия и рассмотрим кольцо Int(D) для произвольной области целостности D.

Литература:
P.-J. Cahen, J.-L. Chabert, <<What You Should Know About Integer-Valued Polynomials>>, <<Integer-Valued polynomails>>
Georg Pólya, <<Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern>>

TBA

Хорошо известно, что статья 8 ликов Господи-сферы Пуанкаре была переведена на русский, в связи с чем мы решили её прочитать и рассказать. Вы можете посмотреть на метаморфозы, происходящие вне поля Вашего внимания.

Литература: «Альбом рисунков», (2024)

Пререквизиты: Желание смотреть.

Настоящий курс посвящен разбору ряда теорем, связывающих классические объекты в теории гомотопий, теории групп и (маломерной) топологии.

Примерный план:
1. Теорема Столлингса о связности
2. Теорема Столлингсва-Свона
3. Ацикличные группы, binate группы
4. Теорема Кана-Тёрстона
5. Вложение свободной группы в ряды, инварианты Милнора-Орра для зацеплений
6. Как не надо доказывать гипотезу Пуанкаре
7. У контрпримера к гипотезе Вайтхеда нетривиальный совершенный радикал

Литература:

J. Stallings, «A Finitely Presented Group Whose 3-Dimensional Integral Homology is not Finitely Generated»
S.Ivanov, R.Mikhailov, «Higher limits, homology theories and fr-codes»
A. Marchand, «The Stallings–Swan Theorem»
K. Varadarajan, «Pseudo-mitotic groups»
D.Kan, W.Thurston, «Every connected space has the homology of a K(π, 1)»
J.Levine, «The μ-invariants of based links»
J.Cha, K.Orr, «Transfinite Milnor invariants for 3-manifolds»
J.Levine, «Surgery on links and the μ-invariants»
В.Бардаков, Р.Михайлов, «Об аппроксимационных свойствах групп зацеплений»
J.Adams, «A new proof of a theorem of W.H. Cockroft»
J.-L. Loday, «Homotopical Syzigies»
A. Berrick, K.Varadarajan, «Binate towers of groups»

Пререквизиты:
Базовая алгебра (сопряженные функторы, копредставление группы)
Университетский курс топологии (фундаментальные группы поверхностей, понятие многообразия)

TBA

Литература: TBA

Пререквизиты:

Университетский курс анализа и анализа Фурье. Могут оказаться полезны самые основы функционального анализа.

В мини-курсе планируется обсудить доказательство теоремы регулярности Пардона—Стеффенса в формулировке Стеффенса утверждающей, что пространство решений эллиптической задачи модулей естественным образом является квазигладким производным многообразием. Я попробую сделать изложение по-возможности «бескоординантным», т.е. не использовать по возможности (производные) C∞-кольца, в этом аспекте изложении подход будет в основном следовать изложению Джона Пардона.

Литература:

P. Steffens, «Representability of Elliptic Moduli Problems in Derived C∞-Geometry», (2024)
P. Steffens «Derived C∞-Geometry I: Foundations», (2023)
J. Pardon «Derived Moduli Spaces of Pseudo-Holomorphic Curves», (2025+)
D. Carchedi and P. Steffens, «On the Universal Property of Derived Manifolds», (2019)

Пререквизиты:

Курс дифференциальной топологии (многообразия, трансверсальность, тензорные поля, когомологии де Рама), понимание пользователя бесконечность-один категорий (определения, (ко)Декартовы расслоения, Йонеда).

TBA

Один из самых интригующих вопросов в математической физике сегодня — «что такое квантовая теория поля?». Были предприняты различные попытки ответить на этот вопрос, такие как аксиомы Вайтмана [1], аксиомы Остервальдера-Шрадера [2] или подход Хаага-Кастлера [3]. Было предпринято много других попыток определить квантовую теорию поля, обзор которых можно найти в [4].

Существование бесконечномерной алгебры симметрий позволило Белавину, Полякову и Замолодчикову добиться значительного прогресса в аксиоматизации конформной теории поля [5]. В 80-х годах прошлого века Грэм Сигал написал революционную работу «Определение конформной теории поля» [6], в которой был предложен принципиально новый взгляд на конформную теорию поля. Преимущество подхода Сигала заключается прежде всего в том, что его аксиомы можно обобщить на случай неконформных теорий. Именно с этого наблюдения началась история самой успешной попытки определить квантовую теорию поля, теперь называемую «функториальной квантовой теорией поля».

Наш курс носит обзорный характер и направлен на введение в основные идеи и концепции функториальной квантовой теории поля.

Литература:

R. F. Streater, A. S. Wightman, «PCT, Spin and Statistics, and All That», (1964)
K. Osterwalder, R. Schrader, «Axioms for Euclidean Green’s functions», (1973, 1975)
R. Haag, D. Kastler, «An Algebraic Approach to Quantum Field Theory», (1964)
M. Dedushenko, «Snowmass White Paper: The Quest to Define QFT», (2022)
A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, «Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory», (1984)
G. Segal, «The definition of conformal field theory», (2004)

Пререквизиты:

Для понимания первой части семинара: основы квантовой теории поля (каноническое квантование свободного скалярного поля на цилиндре, квантование в подходе функционального интеграла).

Для уверенного понимания второй части семинара:

• начала теории категорий (категории, морфизмы, функторы, естественные преобразования, пределы и т.д. до леммы Йонеды; но все это будет напомнено)
• кобордизмы (определения, условия топологической кобордантности, контрпримеры в старших размерностях: многообразия не являющиеся границей чего либо)
• конформная геометрия (определение конформной структуры, связь конформной и комплексной структуры, теорема униформизации)